0 前言

　　五軸聯動是在三個平動坐標(X，Y，Z)的基礎上引入兩個旋轉運動。五軸加工可以實現刀具對工件，尤其是對于復雜自由曲面多角度全方位加工，使得加工效率和加工質量大大提高。但是在引入旋轉軸的同時也帶來了奇異問題。即當刀軸矢量平行或接近于奇異軸時，通過反解運動學求得的機床旋轉角不確定，產生奇異問題。這時，機床某些軸運動劇烈，其動力學特性無法滿足這個變化。因此，如何提前檢測奇異域的位置，避開或者對其進行處理對提高機床加工精度和效率非常重要。

　　國內外學者對此進行了大量的研究。AFF.OUARD.A等人通過多項式插補修改走刀路徑來避開奇異錐形區域，但是插補算法復雜，計算量大；MUNLIN．M等在奇異域內利用迪特拉斯算法選擇最優旋轉角度解來降低旋轉角的急劇變化，但是這只是對旋轉角進行了優化，并沒有從實質上解決問題；KNUT.S通過修改C轉角并在奇異點附近插入刀位點避免加工經過奇異點時誤差過大，但是這四篇文獻里面均沒有對奇異域進行檢測，而是直接觀察旋轉角的變化來判斷奇異點。王丹等通過對機床旋轉軸的變化量進行監測，找出存在過大非線性誤差的刀位點，并使用線性插值的方法進行修正，但是這種方法僅僅考慮位置或角度的變化，并沒有考慮機床的速度加速度等動力學特性。中科院的王峰等人將相鄰點機床各軸的運動變化量和雅克比矩陣結合起來檢測奇異域，并且提出一種奇異域內加工路徑優化方法來減少非線性誤差，但是雅克比矩陣的條件數計算比較難，并且‘病態’條件數也沒有精確的定量標準，故效率比較低。在目前的數控系統如西門子等里面也已經對此類問題有了一定的解決方法。

　　本課題組在文獻中結合機床的動力學特性等提出了一種求解奇異域大小的方法彌補了文獻無法確定奇異域大小的不足。本文也是在這個基礎上，提出了一種幾何的奇異區域檢測方法，根據相鄰兩刀軸矢量所在插補平面與奇異域的位置關系，判斷插補是否經過奇異域。并且針對相鄰兩刀軸矢量與奇異

　　區域的不同位置關系，采用一種特殊的奇異域內線性插補方法，使得非線性誤差盡可能的減少。

1 五軸機床的奇異問題

　由AC雙轉臺五軸機床反向運動學變換求得A、C角的解為：

　　奇異點：A角的解不存在奇異問題，而C角的解在i=0且j=0的時候無法確定，即為奇異點。這時，轉臺和刀軸是垂直的，無論C角取何值都不影響該點的刀軸方向。

　　奇異域：事實上，當刀軸矢量與奇異軸的夾角小于某一特定角度的時候，旋轉軸的角度的變化就越來越大，會產生較大誤差，這一特定的角度即為奇異值，其所形成的區域在空間為一圓錐區域，如圖1所示，我們稱之為奇異區域。

2 奇異域的檢測

　　(1)奇異值的計算

　　(2)奇異域的檢測

　　主要算法為：首先，根據已知條件計算奇異域的大小min；其次，分別計算初始刀軸矢量和終止刀軸矢量與奇異軸的夾角，根據初始和終止刀軸矢量與奇異域的位置關系分類判斷插補是否經過奇異域。如果終止刀軸矢量與奇異軸的夾角<min，那么認為刀具路徑經過奇異域，記為類型b；如果終止刀軸矢量不在奇異域內，起始刀軸矢量與奇異軸的夾角<min，則認為刀具路徑經過奇異域，記為類型；如果起始和終止刀軸矢量均不在奇異域內，那么計算奇異軸與由初始刀軸矢量和終止刀軸矢量所構成的平面(即插補平面)的夾角，如果<min。那么刀具路徑經過奇異域，記為類型c；如果不滿足以上條件則不經過奇異域，記為類型O。

　　如圖3所示，從OA到OB經過奇異域，為類型a；OB到OC經過奇異域，為類型C；OC到OD經過奇異域為類型b；OB到OE不經過奇異域。

　　根據上面算法，我們可以通過一組數據進行驗證算法的有效性。兩組刀位點數據和經過本算法所測出的奇異域的位置和類型。由表可知第一組數據區間1～3(第1點到第4點之間)的奇異類型為類型b，而區間4(第4點到第5點之間)的類型為類型a；第二組數據區間1不經過奇異域，區間2類型為類型c。

3 奇異域的處理

　　當刀具路徑通過奇異域時，機床某些軸將劇烈運動．造成過大非線性誤差，容易損壞機床，需要進行處理。本文根據所檢測出的奇異域類型進行針對性的處理，具體算法：當奇異類型為b和C時，A軸線性轉動插值，C軸不動；當奇異類型為a時，AC軸均線性轉動插值；當不經過奇異域時，按原來方法處理。

4 仿真驗證

　　本文對文獻中的表1中刀位點(如表3)進行仿真對比，說明本算法的有效性。設定進給速度600mm／min；XYZ軸的最大進給速度為5160ram／min，最大加速度為500mm／s2。插補周期0.002s；C軸最大轉速限制為300;每秒；最大角加速度Amax=13.96rad／s2(800／s2)；最大角加加速度Jmax=7000rad／s3。從而可計算得奇異域大小為dmin=0.0644。RTCP移動坐標軸補償的機床參數為：A軸旋轉中心到C軸旋轉中心矢量(0，-0.099，0)；機床零點到工作臺安裝基點矢量(0．084，0.239，-198.408)；C軸旋轉中心到工作零點矢量(-0.084，-0.14，198.408)。

　　表中列出的刀位點未經本算法處理和經過本算法處理描繪出的x、y和C軸坐標的變化曲線。可見，經本算法檢測出從第2點到第7點經過奇異域，類型為b，而第7點到第8點的過程也經過奇異域，類型為口。由此可知本算法在求得奇異域的大小范圍之后，亦可以如文獻中檢測出第3和第6區間屬于奇異區域。未經過本算法處理之前，奇異位置x軸的最大變化量較小為-8.382mm，而y軸的最大變化量為88.075mm，C軸的最大變化量為55.84。；處理后，三軸的變化量分別減小為3.808mm，11.375mm和2.22。由此可見經過本算法處理以后運動軸在經過奇異域時速度變化不再那么劇烈。由于z軸和A軸的變化量始終不是很大，故這里不作列出。另外，上述兩圖中序號分別為區間序號，即表示所取的刀位點中第幾對相鄰點。

　　經過本算法處理的非線性誤差，可知經過本算法處理之后的非線性誤差降低到0.025mm以下，比文獻中處理后的誤差小，符合要求。由圖8可見在不經本算法處理的情況下，由于機床各軸的最大運動速度所限制，加工路徑中出現了尖點的情況，明顯偏離理想軌跡，誤差較大。而經過本算法處理之后加工路徑比較接近理想軌跡。

5 總結

　　本文根據機床的動力學特性求解奇異域大小，并以此作為判斷標準，提出一種幾何算法，可以根據起始刀軸矢量和終止刀軸矢量，在未經插補的時候，預知五軸加工是否會經過奇異域，并且對加工處于的奇異域狀態進行了分類，在后續處理的過程中針對不同的奇異域類型采用不同的插補方法，能夠有效的解決奇異問題，避免加工中出現各軸變化量突變和造成機床的損壞，同時也可以減小非線性誤差，具有實用性。